單變量求解在成纜工藝計算中的應用
 
                           不對稱圓形電纜成纜外徑及空隙面積的計算通常采用圖解曲線法或經驗系數法，均受人為因素及其在作圖、讀圖時準確度的影響，很難保證計算結構的度，從而導致成纜模具大小和各空隙填充根數選擇不當，引起成纜芯不圓整、填充過多或過少、甚至出現成纜模具過小而損傷絕緣線芯的現象，同時對材料消耗定額也會造成一定誤差。  

為計算“三大二小”等非對稱纜芯的成纜外徑與空隙面積，我們查閱了很多關于不對稱圓形電纜成纜外徑和間隙面積的計算方法與公式并進行分析，繪制出不對稱圓形電纜纜芯的截面如圖1所示，利用三角函數原理推導出成纜外徑和空隙面積與絕緣線芯直徑之間較為復雜的關系方程組，對此關系方程組進行認真分析后發現有多組方程解，應用解方程組的方法要想找出其中具有實際應用價值的解是非常困難。
Excel除了可以做一些一般的計算工作外，更可以做許多的分析工作。例如，使用Excel的單變量求解、規劃求解均可以求解Z佳值。
Excel的目標搜索，可用來尋找要達到目標時，需要有怎樣的條件等等。假設分析是指模型中某一變量的值、某一語句或語句組發生變化后, 所求得的模型解與原模型的比較分析。也就是說, 系統允許用戶提問“如果…”, 系統回答“怎么樣…”，這是手工所無法做到的。應用計算機工具，Microsoft Excel中利用單變量求解原理將使方程組的解答過程變得較為簡單。在Excel中建立計算模型后僅需輸入大、小絕緣線芯直徑一次計算即可準確得知纜芯外徑、邊隙面積和中心空隙面積，并且對計算結果進行正確與否的驗證。
圖1 纜芯結構示意圖





A：三大一小 B：三大二小C：四大一小

1 纜芯截面的幾何原理
1.1“三大二小” 芯
由“三大二小”纜芯截面示意圖可知：
中心填充面積=五邊形ABCDE的面積-2×（扇形OAG的面積+扇形GBO的面積+扇形OBC的面積+扇形BCO的面積+扇形OCH的面積）……………………………………………………………………………………（1）
大芯間填充面積=扇形A1OB1的面積-2×△AOG的面積-2×扇形A1AG的面積………………………… （2） 大、小芯間填充面積=扇形B1OC1的面積-△BOC的面積-扇形B1BC的面積-扇形BCC1的面積…………（3）
小芯間填充面積=2×（扇形C1OI的面積-△COH的面積-扇形C1CH的面積）………………………… （4）
其中：
扇形GAO的面積=扇形GBO的面積=∠GAO÷2×r12
扇形OBC的面積=∠OBC÷2×r12
扇形BCO的面積=∠BCO÷2×r12
扇形OCH的面積=（π/2-∠COH）÷2×r12
扇形A1AG的面積=扇形B1BG的面積=（π/2-∠AOG）÷2×r12
扇形B1BC的面積=∠B1BC÷2×r12；=（∠BOC+∠BCO）÷2×r12
扇形C1CB的面積=∠C1CB÷2×r22=（π-∠BCO）÷2×r22
扇形C1CH的面積=∠C1CH÷2×r22=（π-∠OCH）÷2×r22=（π-（π÷2-∠COH））÷2×r22
△AOB的面積=2×△AOG的面積=AB×GO÷2=（2r1）×（r1×ctg∠AOG）÷2
△BOC的面積=BC×（OC×sin∠BCO）÷2=（r1+r2）×（（R-r2）×sin∠BCO）÷2
COH的面積=CH×OH÷2=r2×（（R-r2）×Sin∠OCH）÷2
扇形A1OB1的面積=∠AOB÷2×R2=∠AOC×R2
扇形B1OC1的面積=∠BOC÷2×R2
扇形C1OI的面積=∠COH÷2×R2
1.2“三大一小”芯和“四大一小”芯
“三大一小”芯和“四大一小”芯的纜芯截面幾何原理并不困難，各部分的空隙面積可以對照纜芯截面示意圖1中的A、C，參照“三大二小”的纜芯截面幾何原理逐一推導出來。
2 列方程組、求解纜芯直徑
圍繞纜芯結構示意圖進行三角函數關系推導后，可以得出求解纜芯直徑所需的方程組如下：
2.1“三大一小”
4×r12÷（R-r1）-2×（R-r1）-（（R-r1）2+（R-r2）2-（r1+r2）2）÷（2×（R-r2））=0……………………（5）
2.2“三大二小”
在三角形CBA中，∠BOC = arcsin（（R-r1）2+（R-r22）-（r1+r2）2÷2×（R-r1）×R-r2））……………（5）
在三角形COH中，∠COH = arcsin（r2÷（R-r2））………………………（6）
在三角形AOG中，∠AOG = arcsin（r1÷（R-r1））………………………（7）
另有：∠AOB+∠BOC+∠COH=π，2×∠AOG+∠BOC+∠COH=π………………………（8）
2.3“四大一小”
在三角形COD中，cos∠COD=（（R-r1）2+（R-r2）2-（r1+r2）2）÷（2×（R-r2）） ……………………（9）
在三角形AOB中,sin∠AOB＝sin（∠AOC÷3）＝r1÷（R-r1） …………………………（10）
其中：R=OA1=OB1=OC1=纜芯半徑（㎜）；r1=AG=BG=AA1=大芯半徑（㎜）；r2=CH=CC1=小芯半徑（㎜）。
3 應用計算機求解纜芯直徑和各部分填充面積
上述方程組如果按照傳統的計算方法求解，不僅難度很大，而且速度會很慢，尤其是對于“三大二小” 纜芯而言。在計算機已經相當普及的現在，利用Excel總的的單變量求解則上述方程顯得非常簡單，會取得事半功倍的效果。我們以“三大二小”為例，單變量求解的原理就是：要想計算結果正確，即纜芯面積＝空隙總面積＋絕緣芯面積，先假定成纜外徑為某個數值，然后計算機會不斷的調整假定值大小，直到*條件為止。在Microsoft Excel中，利用計算機內部的函數功能按下述步驟建立模型文件。
在單元格A1中輸入 “三大二小纜芯計算模型”
在單元格A2中輸入“式1: COS∠BOC=（（R-r1）2+（R-r2）2-（r1+r2）2）÷（2×（R-r2）×（R-r1））
式2：SIN（∠COD/2）=r2÷（R-r2）
式3：SIN（∠AOB/2）=r1÷（R-r1）
式4：2∠AOG+∠BOC+∠COH=π
其中：R—成纜外徑；r1—大芯直徑；r1—小芯直徑；單位：mm ………（便于理解和記憶而設置）
在單元格A3中輸入 “△AOB:∠ABO＝” ; 在單元格B3中輸入 “=ACOS（B10/（B14-B10））”;
在單元格A4中輸入 “△AOB:∠AOB＝” ; 在單元格B4中輸入 “=PI（）-B3*2”;
在單元格A5中輸入 “△COB:∠BOC＝”; 在單元格B5中輸入“=PI（）-B4-E4”;
在單元格A6中輸入 “△COB:∠BCO＝”;
在單元格B6中輸入“=ACOS（（POWER（（B10/2+B11/2）,2）+POWER（（B14/2-B11/2）,2）-POWER（（B14/2-B10/2）,2））/（2*（B10/2+B11/2）*（B14/2-B11/2）））”;
在單元格A7中輸入 “△COB:∠OBC＝”; 在單元格B7中輸入“=PI（）-B5-B6”;
在單元格A8中輸入 “扇形OCH的面積mm2=”; 在單元格B8中輸入“=E3/2*POWER（B11/2,2）”;
在單元格A9中輸入 “扇形C1CH的面積mm2=”; 在單元格B9中輸入“=（PI（）-E3）/2*POWER（B11/2,2）”;
在單元格C3中輸入 “△COH：∠OCH=”; 在單元格E3中輸入“=ACOS（B11/（B14-B11））”;
在單元格C4中輸入 “△COH：∠COH=”; 在單元格E4中輸入“=PI（）/2-E3”;
在單元格C5中輸入 “△COD的面積mm2=”; 在單元格E5中輸入“=B11*SIN（E3）*（B14/2-B11/2）/2”;
依次再將△AOB、△COB的面積和扇形OCK、C1CK、A1OB1、B1OC1、D1OC1、D1OC1、GBB1、OBK、KBB1的面積照上述方式輸入單元格C6～H9中。
在單元格A10中輸入 “大芯直徑d1=”; 在單元格A11中輸入“小芯直徑d2=”;
在單元格A12中輸入 “過渡公式∠BOC=”; 在單元格B12中輸入“=ACOS（（POWER（（B14-B10）,2）+POWER（（B14-B11）,2）-POWER（（B10+B11）,2））/（2*（B14-B10）*（B14-B11）））”;
在單元格A13中輸入 “單變量求解公式”;在單元格B13中編輯公式 “=B12+D12/2+2*ASIN（B10/2/（B14/2-B10/2））-PI（）”;
在單元格A14中輸入 “成纜外徑D=”;
在單元格A15中輸入 “纜芯面積-空隙總面積-絕緣芯面積=”; 在單元格B15中輸入 “=ROUND（B14/2*B14/2*PI（）-（D10+D11*2+D13*2+D14+（POWER（B10/2,2）*3+POWER（B11/2,2）*2）*PI（））,2）”;
在單元格A16中輸入 “驗證結果：”; 在單元格B16中輸入 “=IF（B15=0,C15,D15）”;
在單元格C10中輸入“中心孔隙面積=”; 在單元格D10中輸入 “=（E5/2+E6+E7）*2-（H6*4+H8*2+E8*2+B8*2）”;
在單元格C11中輸入 “大芯間空隙面積=”; 在單元格D11中輸入“=H3-E6-H7*2”;
在單元格C12中輸入 “過渡公式∠COD=”; 在單元格D12中輸入“=2*ASIN（B11/2/（B14/2-B11/2））”;
在單元格C13中輸入 “大小芯間空隙面積=”; 在單元格D13中輸入“=H4-E7-H9-E9”;
在單元格C14中輸入 “小芯間空隙面積=”; 在單元格D14中輸入“=H5-E5-B9*2”;
在單元格C15中輸入 “正確！”; 在單元格D15中輸入“錯誤！”;
至此，計算模型已基本建成。為了便于理解，可將“三大二小”纜芯截面示意圖插入計算模型中；單元格A3～D9、A12～D12均屬計算過程中所需的過渡內容，為了計算模型的美觀可將所在行隱藏。Z后形成如下圖所示的模型：




建立模型的過程中，在單元格中引用函數功能編輯公式的格式必須正確。
利用函數功能建立好模型后，輸入大、小芯絕緣線芯直徑，考慮到方程組會有多組解值，甚至包括無效解值，需要對成纜外徑賦予初值為大芯直徑的兩倍。然后對“=B14+D14/2+2*ASIN（B12/2/（B16/2-B12/2））-PI（））”單元格B15進行單變量求解，并設定目標值為0、變量為單元格B14（成纜外徑）且約束條件為大于兩倍小于三倍的大芯絕緣線芯直徑，運行后即可得出成纜外徑D和各部分填充面積值。為了檢驗計算值的正確性，已在A15～D15單元格中輸入驗算條件“纜芯總面積-全部填充面積-全部絕緣線芯面積”，如果運算結果為0則說明正確，否則為錯誤。
“三大二小”芯電纜成纜外徑計算值在此文中不一一列出，需要時即可按照上述方法計算得出。運算結果示例如：d1=40.0mm，d2=25.0mm→D=93.79mm，中心填充面積=508.5mm2，大、小芯間填充面積=246.9mm2，小芯間填充面積=113.9 mm2，大芯間填充面積=520.6 mm2，結果檢驗：π×（93.79×93.79）÷4-π×（40.0×40.0）÷4×3-π×（25.0×25.0）÷4×2-508.5-2×246.9-2×520.6-113.9=0.00 mm2。
4 結束語
單變量求解的原理是首先假定成纜外徑為兩倍的大芯直徑，然后在約束條件內一點一點地調整變量值（D），直到*規定的目標值及一系列的中間公式并檢驗正確。應用單變量求解計算“三大二小”芯電纜成纜外徑和各部分填充面積，雖然三角函數關系復雜，推導時較麻煩，但*次建立好Excel表格文件以后隨時都可利用，而且運算速度非常快、非常準確。在此基礎上，如果設置了PVC填充條直徑、每根聚丙烯繩的填充面積，可以直接計算出各部分空隙的填充根數/直徑。
準確的成纜外徑、填充面積計算值不僅能夠有效指導成纜配模、填充根數，有效避免配模偏大、偏小而導致纜芯松散、絕緣刮傷現象和填充過多、過少現象，對填充材料消耗定額計算也是一個準確的計算依據。
值得注意的是盡管理論計算結果非常準確，但在電纜生產過程中無論是成纜模具大小或填充根數均不一定*遵照上述計算結果執行，必須根據實際情況進行調整。