三進制砝碼——“道生一，一生二，二生三，三生萬物”

 三進制砝碼——“道生一，一生二，二生三，三生萬物”

　　三進制是“逢三進一,退一還三”的進制。

　　三進制數碼包括“0，1和2。”

　　三進制數位小數點前從右往左依次是1位，3位，9位，27位，81位，243位……

　　三進制數位小數點后從左往右依次是3分位，9分位，27分位，81分位……

　　寫時注意應打括號，加下標的3，如（1201）3。讀作一二零一，不能讀成一千二百零一，這是因為它們對應于27位，9位，3位和1位，不是千百十個位！

　　一些常見的十進制數換三進制表

　　十進制 三進制

　　0 0

　　1 1

　　2 2

　　3 10

　　4 11

　　5 12

　　6 20

　　7 21

　　8 22

　　9 100

　　10 101

　　... ...

　　三進制在實際生活中較少用到，下面舉一例：

　　三進制數是以下問題的答案：

　　允許在天平兩端放置砝碼，問N個砝碼如何才能稱出多的整克物體？

　　答案：1.一個砝碼取1克，只能稱1克。

　　2.二個砝碼取1克，3克

　　右盤3，左盤1。稱2克

　　右盤3。稱3克

　　右盤1，3。稱4克

　　3.三個砝碼取1克，3克，9克

　　右盤9，左盤1，3。稱5克

　　右盤9，左盤3。稱6克

　　右盤9，1，左盤3。稱7克

　　右盤9，左盤1。稱8克

　　右盤9。稱9克

　　右盤9，1。稱10克

　　右盤9，3，左盤1。稱11克

　　右盤9，3。稱12克

　　右盤9，3，1。稱13克

　　4.四個砝碼取1克，3克，9克，27克。

　　............

　　其中的1，3，9，27，81等都是三進制數的數位。

一、數學原理：

用天平稱量物體實際上是把物體放在一個托盤上，然后在兩個托盤上分別加上適當的砝碼，使得天平保持平衡，這時物體的質量就等于這兩個托盤上砝碼各自質量之和的差值。這樣一來，世界上砝碼組合問題就轉變成純數學的整數優拆分問題了：

如何將3280分解成一些較小的數（正整數，下同），取出一部分這些數（每一個數在一次運算中只能使用一次，即滿足砝碼的*性）進行或加或減的運算就能得到一個新的數。而且用這種方法得到的數集里必須包含了從1到3280的所有正整數。

（1）  首先讓我們來看理論上能不能做到。假設這樣的一組數存在，我們設為n個，從小到大分別為：A1,A2,…,An即：A1<A2<…<An（n為正整數）現在我們來看這一組數是如何組成一個新的數的。

K1A1+ K2A2+….+KnAn  （其中k1,k2,….,kn的取值只能是-1，0，+1這三個數，n是正整數）

根據要求，我們知道A1,A2,…,An這一組數必須滿足下面這些條件：

A1+A2+…+An=3280           …………………①

K1A1+ K2A2+….+KnAn  當k1到kn取完所有的可能值時，至少能產生3280個數字 ，而這些數字里還必須有1至3280的所有正整數。  .................②

式子②所能產生的數字個數問題實際上又是排列組合問題，K1,K2,…,Kn每個都有三種取值的可能，所以所能組成的數字的總個數P=3^n。這些數字中有0，有正整數，也有負整數，由于對稱性，正整數和負整數的個數是一樣多的。所以實際產生的正整數的總個數應該是：T=（P-1）/2=（3^n-1）/2.

設T=3280，（如果此式能成立，則剛好能產生1到3280的所有正整數）

即：T=（P-1）/2=（3^n-1）/2.=3280。  

解之得：         n=8

這就從理論上證明了3280能分成8個較少的數字，并且從這8個數字中取出m（m<=8的正整數）個進行或加或減所生成的所有正整數剛好就是1至3280的所有自然正整數。

（2）  既然理論上是可以做到的，那我們就實際來做一做。

顯然：    A1=1， 因為1是自然數的始祖，少了它肯定不行。

那么A2是多少呢？ A2與1可以組成的數字：A2-1，A2，A2+1，顯然A2-1=2，解之得：  A2=3

有了1和3這兩個數字我們就能產生數字：1，2，3，4

增加A3后，我們又能增加這些數：

A3-4，A3-3，A3-2，A3-1，A3，A3+1，A3+2 ，A3+3，A3+4

同理A3-4=5，解之得：A3=9

。。。。。。

同理我們可以得到A4=27，A5=81，A6=243，A7=729，X8=2187

現在讓我們驗證方程①是否成立，

A1+A2+…+An=1+3+9+27+81+243+729+2187=3280

    方程①成立。

到此我們不但在理論上而且在實際上也找到了這8個數字了，它們分別是

1  3  9  27  81  243  729  2187

二、使用手冊

砝碼的使用問題歸根結底是數學問題，所以我們在這里就說數學問題吧。也就是說如何用1  3  9  27  81  243  729  2187這8個原始數字表示1至3280的某一個具體的數字，先讓我們來做幾道簡單的算術題：

1

1+3=4

1+3+9=13

1+3+9+27= 40

1+3+9+27+81=121

1+3+9+27+81+243=364

1+3+9+27+81+243+729=1093

1+3+9+27+81+243+729+2187=3280

我們把1至3280的所有正整數分在7個區間里，它們分別是：

Q1= [1  4]                       1∈Q1，3∈Q1

Q2=（4  13]                     9∈Q2

Q3=（13  40]                    27∈Q3

Q4=（40  121]                   81∈Q4

Q5=（121  364]                  243∈Q5

Q6=（364  1093]                 729∈Q6

Q7=（1093  3280]                2187∈Q7

其中“（”表示開區間，“]”表示閉區間。

.

顯然,給我們任何一個數A（1<=A<=3280），我們先看A屬于哪個區間，在哪個區間就取也同在那個區間的那個原始數字來做減數與A相減，比如數字A與原始數字B1在同一區間，則A可以表示成

        A=B1+K1   或A=B1-K1     ……. ①

現在再看K1在哪個區間，如果K1和原始數字B2在同一區間，則K1可表示成

        K1=B2+K2  或K1=B2-K2    ………②

依此類推，只到所有的數字都變成原始數字為止。即

        ……………………………………………….

        Kn-1=Bn+Kn  或Kn-1=Bn-Kn ……….（n）

（其中A，B，K，n都是正整數）

這時將式（n）代入式（n-1）, 式（n-1）代入式（n-2）……式②代入式①

這樣全部用原始數字表示的數字A就完成了。下面用具體的數字為例加以說明。

例（1）用天平稱取2008克物品。即A=2008

解：

2008∈Q7， 2187∈Q7，所以

           2008=2187-179

179∈Q5， 243∈Q5，并且179= 243-64

所以

          2008=2187-243+64

64∈Q4 ，  81∈Q4，并且64=81-17

所以

         2008=2187-243+81-17

17∈Q3， 27∈Q3，并且17=27-10

所以

         2008=2187-243+81-27+10

10∈Q2， 9∈Q2， 并且10=9+1

所以

2008=2187-243+81-27+9+1

又因為1是原始數字，所以到這里就可以OK了。

在使用天平稱取2008克物品時，243克，27克的砝碼和物品放在同一邊托盤上，2187克，81克，9克，1克的砝碼放在另一邊托盤上即可，當天平平衡時，這時物品的質量就是2008克。

   例（2）用天平稱取1997克物品，即A=1997

   解

      1997∈Q7， 2187∈Q7

       所以      1997=2187-190

      190∈Q5，243∈Q5，并且 190=243-53

    所以   1997=2187-243+53

       53∈Q4，81∈Q4，并且 53=81-28

    所以   1997=2187-243+81-28

       28∈Q3，27∈Q3，并且28=27+1

    所以   1997=2178-243+81-27-1

       8∈Q2，9∈Q2，并且 8=9-1

    所以   1997=2178-243+81-27-1

在使用天平稱取1997克物品時，物品和質量為243克，27克，1克的砝碼放在一個托盤上，2178克，81克的砝碼放在另一托盤上，當天平平衡時，此時物品的質量即為1997克。