線性振動與非線性振動

對于真實的振動系統，系統自身屬性的非線性特性或者系統所受擾動的非線性特性是普遍存在的。不過在大多數工程問題中，往往可以將非線性因素近似簡化為線性的，這種處理既簡化了計算，同時又具有相當高的精度。但是對于某些問題，忽略非線性因素將會引起很大的誤差，甚至導致求解的錯誤。例如，機翼的顫振問題，船舶在海浪中的大幅運動和系泊系統中系泊力的問題，高速列車的蛇形運動問題，都需要非線性振動的分析方法。尤其是隨著科技水平的發展，機械和結構系統越來越復雜，運行環境越來越苛刻，非線性振動問題越發不容忽視。

在處理振動問題時，通常能夠轉化為數學上的微分方程問題。線性振動問題對應線性方程（組），而非線性振動問題則對應非線性微分方程（組）。當微分方程中出現未知函數及其一階和二階導數的非線性項時，方程稱為非線性的。如：系統的恢復力是系統空間位置的非線性函數，阻尼力是系統運動或振動速度的非線性函數。

在線性振動中固有頻率是很重要的概念，所謂“固有"，就在于它與初始條件、運動狀態無關，是系統的固有屬性。而對非線性系統來說，由于系統自由振動的頻率與振幅有關，固有頻率這個概念本身發生了很大變化。

對于強迫振動問題，線性系統的響應頻率必然與激勵頻率相同，但非線性系統的響應中有時異于激勵頻率的振動成分會很突出。幅頻曲線在線性系統和在非線性系統中也大不相同，線性系統的幅頻曲線是單值的，而非線性系統的幅頻曲線在一個頻率點可能對應若干振幅，即出現響應的多解情況。

在簡諧激勵作用下，線性系統的振動響應仍然為簡諧振動，響應的大小與初始條件無關。但是非線性系統的響應與初始條件密切相關，由于初始條件的不同，其振動響應的發展將出現不同的結果，一個可能表現為周期的振動，而另一個則可能通向混沌運動。

對于多自由度系統，線性振動問題滿足線性疊加原理，能夠通過引入模態坐標將方程組解耦。而對于非線性振動問題，模態存在內共振、組合共振和各階模態之間能量的滲透，因此，不可以用模態疊加的方法。雖然已有多種解析求解非線性振動的方法，包括多尺度法、三級數法、平均法、諧波平衡法等。但解析方法能夠解決的問題很少，對于高維或強激勵的問題便束手無策了，只能通過數值求解的方法，包括龍格-庫塔法、有限差分法、Houbolt法、紐馬克-β法、威爾遜-θ法等。

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