關于傅里葉變換的數(shù)學解釋

名詞：FFT = Fast Fourier Transform（快速傅里葉變換）

狀態(tài)監(jiān)控領域，將振動信號的時域波形轉換為頻域波形，常常用到傅里葉（FFT）變換。但是，可能有部分初涉該領域的從業(yè)人員對FFT并不是很了解，本文用實際例子對FFT做個數(shù)學方面的解釋。

我們知道，振動傳感器安裝在設備上時，它接收到的振動是該設備所有振動信號的疊加，傳感器會把這些混疊信號毫無保留的傳出，這些信號從示波器看上去雜亂無章，無法解讀，因為示波器上顯示的是時域波形，里面包含了多種頻率的振動信號。

那么，有沒有一看就明白的信號顯示方式呢？答案是：有。把時域信號轉換為頻域信號，就一目了然。而快速傅里葉變換（FFT）提供了實現(xiàn)從時域到頻域的轉換的工具。

假如某臺設備有2個振動信號：

即振幅為2g，頻率為62.5Hz，相位為30度的信號（假設為主軸振動信號）。

即振幅為1.5g，頻率為100Hz，相位為90度的信號（假設為此輪嚙合振動信號）。

這2個信號都被森瑟科技 振動傳感器310A接收到，并傳給示波器，那么從示波器看到的波形就是這2個信號的疊加信號：S=S1+S2

上圖的這個波形是不是有點看不明白了呢？這才有2個信號疊加呢，3個疊加呢？10個疊加呢？100個呢？

看不明白了吧？不用理他，看下面包工怎么處理的。

回歸正傳，此時，工程師（假設包工）并不知道上面是哪些信號的組合，包工需要把這些信號做FFT變換，得到時域信號才能知道是哪些頻率組分的振動信號。通常，這個轉換不需要包工自己來算，設備自帶的數(shù)采就可以自行處理。為了讀者理解，包工決定自己來算一算：

步：包工用12800Hz的采樣頻率，在上述波形上采集了4096個數(shù)據(jù)（為什么是4096個數(shù)呢？盡量多，但是excel只能處理這么多），按照時間順序，把這4096個數(shù)據(jù)寫到excel表里，理論上，包工采到的每個點的數(shù)據(jù)就是S1和S2在該時間點的矢量和（S1+S2），如下表所示。雖然包工事先也不知道S1和S2，為便于讀者理解，S1和S2的信息也列出。

...

第二步：包工對這4096個數(shù)據(jù)進行FFT變換，這個工作在表格里用excel自帶公式完成。得到如下數(shù)據(jù)：

...

第三步，包工對傅里葉復數(shù)進行頻率化處理，這個得包工自己算:

1. 頻數(shù)化，頻率間隔 = 12800/4096 = 3.125 (Hz)，從公式看，采樣頻率越高，頻率分別率越低呢，表示不解？提高采樣時間和樣本量，可以提高分辨率。低采樣頻率會導致混疊失真。

2. 求模（即振幅),和方根復數(shù)虛實部 (因為頻域兩側對稱能量減半，所以x2補償回來)

數(shù)據(jù)如下：

3. 繪制頻譜圖

從頻譜圖上，我們是不是看到62.5Hz處有個2g的振幅信號，在100Hz處有個1.5g的振幅信號呢？

這，就是傅里葉變換。傅里葉變換是CMS振動分析的基礎。

一點歷史知識：1807年法國數(shù)學家傅里葉(J. Fourier, 1768-1830)在向法國呈交一篇關于熱傳導問題的論文中宣布了任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)，這就是后來傅里葉變化的理論基礎。所有的周期信號都可以分解為有限個正弦信號和/或余弦信號的疊加，而所有的振動信號必然是周期信號，所以，所有振動信號都可以分拆為不同頻率下的正弦/余弦信號，在頻譜上直觀呈現(xiàn)。